Cálculo de equivalencias entre los sistemas numéricos Binario y Decimal

Sistema de Numeración.

Se define sistema de numeración como el conjunto de símbolos utilizados para la representación de cantidades, así como las reglas que rigen dicha representación.

      2.1. Sistema de Numeración Posicionales. Sistema Binario, Octal y Hexadecimal.

Un sistema de numeración se distingue por su base, que es el número de símbolos que utiliza, y se caracteriza por ser el coeficiente que determina cual es el valor de cada símbolo dependiendo de su posición.

Algunos de los sistemas mas utilizados son:

• Decimal
• Binario
• Octal
• Hexadecimal

El sistema de numeración que utilizamos normalmente es el sistema decimal, de base 10. Este sistema utiliza para su representación la combinación de diez dígitos o símbolos:

0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9

Dependiendo de la posición que ocupe un digito dentro de una cifra, representara las unidades, decenas, centenas, etc. Por eso se dice que los sistemas de numeración son posiciónales.

Por ejemplo, en este sistema los siguientes números se pueden expresar como sumas de potencias de base 10.

• El número entero 2456:

(2*10³)+ (4*10²)+ (5*10¹)+ (6*10º) =

(2*1000)+ (4*100)+ (5*10)+ (6*1) = 2456

• El número decimal 1234,56:

(1*10³)+ (2*10²)+ (3*10¹)+ (4*10º) + (5*10¯¹)+ (5*10¯²)=

(1*1000)+ (2*100)+ (3*10)+ (4*1)+ (5/10)+ (6/100)= 1234,56

Podemos definir también un sistema de numeración como un conjunto de dígitos y reglas que permiten representar datos numéricos. La principal regla es que un mismo digito tiene distinto valor según la posición que ocupe.

El sistema binario utiliza para su representación la combinación de dos dígitos o símbolos, por lo que su base es 2:

0 y 1

Estos valores se asocian en los sistemas digitales con subidas y bajadas de la tensión de los elementos que componen el equipo informático, consiguiendo que se produzcan conexiones y desconexiones, todo ello dentro de un ciclo de reloj.

Los bits tienen distinto valor dependiendo de la posición que ocupan, por eso este sistema también es posicionad.

Se puede pasar de los sistemas Binario, Octal y Hexadecimal, o de sistemas en cualquier base, al sistema decimal utilizando el Teorema Fundamental de la Numeración, este teorema viene dado por la fórmula:

N =∑ digito * base

Donde:

i= posición respecto a la coma. Para los dígitos de la derecha la i es negativa empezando en -1 y para los de la izquierda es positiva empezando en 0, tal y como vimos en el ejemplo de representación de un numero decimal con decimales.

d= numero de dígitos a la derecha de la coma.

n= numero de dígitos a la izquierda de la coma -1.

Digito = cada uno de los elementos que componen el numero

Base = base del sistema de numeración.

Por lo tanto el número resultante se compondría como sumatoria de multiplicar cada digito por la base elevada a su posición i.

Conversión de número binario a decimal.

Aplicando el teorema de la numeración, anteriormente expuesto, nos quedaría como sigue:

11001=(1*2elevado 4)+(1*2 elevado 3)+(0*2 elevado 2)+ (0* 2 elevado 1)+ (1*2 elevado 0)=16+8+0+0+1=25

Conversión de numero decimal a binario.

Para representar un número en sistema binario solo podemos utilizar los dígitos 0 y 1. La forma de convertir a binario es dividir la parte entera del numero decimal entre la base de los números binarios, que es 2, hasta que el cociente resultante sea menor que dos, y la parte decimal se multiplicara por 2 de forma sucesiva hasta que resulte como parte decimal 0, a veces puede ocurrir que la parte fraccionaria se hace indefinida, es decir, no obtenemos 0 por muchas multiplicaciones que realicemos, para esos casos se determina un error, por ejemplo, 2¯¹º por lo que haremos multiplicaciones hasta conseguir 10 dígitos.

Para representar el numero, tomaremos el ultimo cociente de las divisiones realizadas y todo los restos obtenidos, cogiendolos de abajo hacia arriba, y para la parte decimal del mismo, tomaremos la parte entera de las multiplicaciones realizadas y en el mismo orden de realización.

Veamos algún ejemplo, 13,125 en decimal a binario:

La parte entera:

13/2=6 de resto 1

6/2=3 de resto 0

3/2=1 de resto 1

La parte decimal:

0,125*2=0,250

0,250*2=0,5

0,5*2 = 1,00

Composición del número:

13,125 = 1101,001 en binario.